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悬链线_百度百科
百度百科 网页新闻贴吧知道网盘图片视频地图文库资讯采购百科百度首页登录注册进入词条全站搜索帮助首页秒懂百科特色百科知识专题加入百科百科团队权威合作下载百科APP个人中心悬链线播报讨论上传视频数学概念收藏查看我的收藏0有用+10本词条由“科普中国”科学百科词条编写与应用工作项目 审核 。悬链线 (Catenary)指的是一种曲线,指两端固定的一条(粗细与质量分布)均匀、柔软(不能伸长)的链条,在重力的作用下所具有的曲线形状,例如悬索桥等,因其与两端固定的绳子在均匀引力作用下下垂相似而得名。适当选择坐标系后,悬链线的方程是一个双曲余弦函数,其标准方程为:y=a cosh(x/a),其中,a为曲线顶点到横坐标轴的距离。中文名悬链线外文名Catenary学 科数学方 程y=a cosh(x/a)属 性曲线示 例悬索桥,等目录1历史发展▪问题的起源▪发展▪解决问题2等高悬链线3工程中的应用4相关公式历史发展播报编辑问题的起源达·芬奇不仅是意大利的著名画家,他画的《蒙娜丽莎》带给了世界永恒的微笑,而且他还是数学家、物理学家和机械工程师,他学识渊博,多才多艺,几乎在每个领域都有贡献,他还是数学上第一个使用加、减符号的人,他甚至认为:“在科学上,凡是用不上数学的地方,凡是与数学没有交融的地方,都是不可靠的”。他本人在创作《蒙娜丽莎》时,认真地研究了主人公的心理,做了各种精确的数学计算,来确定人物的比例结构,以及半身人像与背景间关系的构图问题。抱银貂的女人当我们欣赏他的《抱银貂的女人》中脖颈上悬挂的黑色珍珠项链时,我们注意的是项链与女人相互映衬的美与光泽,而不会像达·芬奇那样去苦苦思索这样一个问题:固定项链的两端,使其在重力的作用下自然下垂,那么项链所形成的曲线是什么?这就是著名的“悬链线问题”,达芬奇还没有找到答案就去世了。发展从外表上看,悬链线真的很像抛物线。荷兰物理学家惠更斯用物理方法证明了这条曲线不是抛物线,但到底是什么,他一时也求不出来。直到几十年后,雅各布·伯努利再次提出这个问题。解决问题与达芬奇的时代相隔170年,久负盛名的雅各布·伯努利在一篇论文中提出了确定悬链线性质(即方程)的问题。实际上,该问题存在多年且一直被人研究。伽利略就曾推测过悬链线是一条抛物线,但问题一直悬而未决。雅各布觉得,应用奇妙的微积分新方法也许可以解决这一问题。但遗憾的是,面对这个苦恼的难题,他没有丝毫进展。一年后,雅各布的努力还是没有结果,可他却懊恼地看到他的弟弟约翰·伯努利发表了这个问题的正确答案。而自命不凡的约翰,却几乎不可能算是一个谦和的胜利者,因为他后来回忆说:我哥哥的努力没有成功;而我却幸运得很,因为我发现了全面解开这道难题的技巧(我这样说并非自夸,我为什么要隐瞒真相呢?)……没错,为研究这道题,我整整一晚没有休息……不过第二天早晨,我就满怀欣喜地去见哥哥,他还在苦思这道难题,但毫无进展。他像伽利略一样,始终以为悬链线是一条抛物线。停下!停下!我对他说,不要再折磨自己去证明悬链线是抛物线了,因为这是完全错误的。可笑的是,约翰成功地解出这道难题,仅仅牺牲了“整整一晚”的休息时间,而雅各布却已经与这道题持续搏斗了整整一年,这实在是一种“奇耻大辱”。等高悬链线播报编辑标准方程其中,a为常数,是曲线顶点到横坐标轴的距离。 [1]表达式的证明图1注释如图1,设最低点A处受水平向左的拉力H,右悬挂点处表示为C点,在AC弧线区段任意取一段设为B点,则B受一个斜向上的拉力T,设T和水平方向夹角为θ,AB段绳子的质量为m,显然B点受力平衡,进行受力分析有:m=σs ,其中s是右段AB绳子的长度,σ是绳子线密度,即单位长度绳子的质量。代入得微分方程 (式1);再利用勾股定理 得到式(2):将(2)式代入(1)式得式(3):不妨做一次变量替换,令: ,得到如下方程:为了将积分符号去掉,对上式两边对x求导:接下来变量分离并两端进行积分:由于 ,所以上面的积分的解为(式4):反双曲正弦的部分图像(注意,指数-1表示的是反函数,而不是倒数。)下面确定C的值。显然,当x=0时,y'=0,即p=0,所以将该初值条件代入我们得到的解,因为 ,解得C=0。下面给出反双曲正弦的图像以加强直观认识。然后利用反函数的性质,在(4)式的两边取双曲正弦:对上式变量分析并积分:于是得到最终的解:上式中的C一般保留,它会随着坐标系选择的不同而取不同的值。悬流体方程(1)微分方程为 ,方程解为:以下是不同a的曲线族。方程原理同悬链线一样。不同的是其表面张力分量必须等于悬挂部分的重力。垂直方向的流体必须考虑悬流体部分,此部分不是自由流动的流体,其完全受表面张力作用。如果张力仅仅能够维持自身旋转体重量时,摩擦阻力不考虑。(2)垂直管道中,或者空气柱内,摩擦阻力与y正比,反重力方向,则微分方程为:此类如同自然水管龙头的低速流体,但是它需要一个水平方向的张力作用,大小等于ky,第一类与二类均需要。(2)水平转换张力球,水龙头如果开到很小,会发现,在最底端,水是以一个一个的小球发出,而这个小球就是张力球,水按照一定频率从悬流体中流出,而不是连续的流体,与量子力学基本相通,微分方程如下: 解出方程为: 方程是圆球。悬膜壳或者悬流体膜微分方程为: 利用积分程序绘图如图2:图2工程中的应用播报编辑图3悬链线图像悬索桥、双曲拱桥、架空电缆、双曲拱坝都用到悬链线的原理。 在工程中有一种应用,a称作悬链系数。如果我们改变公式的写法,会给工程应用带来很大帮助,公式及图像如图3:还有以下几个公式,可能也有用:其中L是曲线中某点到0点的链索长度,α是该点的正切角,F0是0点处的水平张力,γ是链索的单位重量。利用上述公式即能计算出任意点的张力。相关公式播报编辑双曲正弦的导数:双曲余弦的导数: ;反双曲正弦的导数:反双曲余弦的导数:新手上路成长任务编辑入门编辑规则本人编辑我有疑问内容质疑在线客服官方贴吧意见反馈投诉建议举报不良信息未通过词条申诉投诉侵权信息封禁查询与解封©2024 Baidu 使用百度前必读 | 百科协议 | 隐私政策 | 百度百科合作平台 | 京ICP证030173号 京公网安备110000020000悬链线方程的推导 - 知乎
悬链线方程的推导 - 知乎切换模式写文章登录/注册悬链线方程的推导知乎用户jyXpnM因为计算过程会出现双曲函数,所以先简单了解一下双曲函数在数学中,双曲函数是一类与常见的三角函数(也叫圆函数)类似的函数。最基本的双曲函数是双曲正弦函数 sinh 和双曲余弦函数 cosh ,从它们可以导出双曲正切函数 tanh 等,其推导也类似于三角函数的推导。双曲函数的反函数称为反双曲函数,有反双曲正弦函数 arcsinh ,反双曲余弦函数 arccosh ,反双曲正切函数 arctanh 。双曲函数的定义和三角函数有如下关系sinhx=-isinix coshx=cosix tanhx=\frac{sinhx}{coshx}=\frac{-isinix}{cosix}=-itanix i 是虚数单位sinhx 和 tanhx 都是奇函数, sinh(-x)=-sinhx , tanh(-x)=-tanhx coshx 是偶函数, cosh(-x)=coshx 双曲正弦和双曲余弦导数关系:(求导方式就是把虚数单位 i 当成常数,其它步骤一样)(sinhx)'=coshx (coshx)'=sinhx 双曲函数还可以用指数函数来表示根据欧拉公式 e^{ix}=cosx+isinx 得 e^{x}=e^{i(-ix)}=cosix-isinix=coshx+sinhx e^{-x}=e^{i(ix)}=cosix+isinix=coshx-sinhx 即 sinhx=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2} , coshx=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2} 接下来看悬链线悬链线是一根密度均匀的绳子或铁链两端固定在水平杆上,受重力的作用自然下垂后形成的曲线既然能保持平衡,那这根绳子上一定处处都满足二力平衡。绳子受到重力以及自身张力假设一条不可伸长的线密度为 \rho 的绳子处于重力加速度为 g 的重力场中,取绳子上某一小段受力分析,这小段在 x 轴上的投影是 dx 小段绳子和水平面夹角的正切值就是悬链线方程在那一点的导数 y' 可以证明,这段绳子的长度为 dl=\frac{dx}{cos\theta}=\sqrt{1+tan^{2}\theta}dx=\sqrt{1+y'^{2}}dx 图为受力分析所受重力为 mg=\rho dl=\rho g\sqrt{1+y'^{2}}dx ,受到的它前面那段绳子的拉力为 T(x+dx)=(T_{x}(x+dx),T_{y}(x+dx)) ,且 T_{y}=T_{x}y' ,它对后面那段绳子的拉力为 T(x)=(T_{x}(x),T_{y}(x)) 。所以这段绳子受到的合力为 F=T(x+dx)-T(x)+mg=(\frac{dT_{x}}{dx}dx,\frac{dT_{y}}{dx}dx-\rho g\sqrt{1+y'^{2}}dx)=(0,0) \frac{dT_{x}}{dx}=0 ,所以 T_{x}=c ,横向的张力是一个定值。又有 \frac{dT_{y}}{dx}=\rho g\sqrt{1+y'^{2}} ,且T_{y}=T_{x}y'=cy',所以 \frac{dT_{x}y'}{dx}=\frac{cdy'}{dx}=cy''=\rho g\sqrt{1+y'^{2}} 就得到了悬链线的微分方程 y''=k\sqrt{1+y'^{2}} 分离变量 y''=\frac{dy'}{dx}=k\sqrt{1+y'^{2}} , \frac{1}{\sqrt{1+y'^{2}}}dy'=kdx \int_{}^{}kdx=\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{1+y'^{2}}}dy' 令 y'=it ,即 dy'=idt , i 是虚数单位\int_{}^{}kdx=kx+c_{1}=\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{1+y'^{2}}}dy'=i\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}dt=iarcsint=iarcsin(-iy') 所以 y'=isin(-i(kx+c_{1}))=-isin(i(kx+c_{1}))=sinh(kx+c_{1}) y'=sinh(kx+c_{1}) y'=\frac{dy}{dx}=sinh(kx+c_{1}) , dy=sinh(kx+c_{1})dx\int_{}^{}dy=y=\int_{}^{}sinh(kx+c_{1})dx=\frac{1}{k}cosh(kx+c_{1})+c_{2} 把 \frac{1}{k} 记为 a ,得到悬链线方程 y=acosh(\frac{x}{a}+c_{1})+c_{2} 可以看出c_{1} , c_{2} 和坐标原点的选取有关,如果把悬链线的顶点选在坐标原点(顶点 y'=0 )那么 c_{1}=0 , c_{2}=-a ,悬链线方程为 y=a(cosh\frac{x}{a}-1) 也可以用指数函数表示 y=a\frac{e^{\frac{x}{a}+c_{1}}+e^{-(\frac{x}{a}+c_{1})}}{2}+c_{2} 悬链线的方程和密度 \rho 以及重力加速度 g 的大小无关。如果原先定好了铁链的长度是 l 的话可以通过 l=\int_{x_{1}}^{x_{2}}\sqrt{1+y'^{2}}dx 求出 a ( x_{1} , x_{2} 是两个悬挂点的位置)。不过也只能得到 l=asinh(\frac{x_{1}}{a}+c_{1})-asinh(\frac{x_{2}}{a}+c_{1}) 没法用初等函数表示出 a=f(l) 的形式补充一下将双曲函数进行泰勒展开后 y=cosh{\frac{x}{a}}=1+\frac{(\frac{x}{a})^{2}}{2!}+\frac{\left( \frac{x}{a} \right)^{4}}{4!}+\frac{(\frac{x}{a})^{6}}{6!}+...... 保留前两项 y=1+\frac{x^{2}}{2a^{2}} 不难看出 a 比较大的时候双曲函数和二次函数是比较像的这大概就是为什么历史上曾认为悬链线是抛物线的原因......如果这根绳子不是不可伸长的绳子,而是符合胡克定律的弹性绳,而且下垂时每一段小绳子只会在纵向发生形变(其实这种性质更像纵向变形的均匀杆)。这种绳子只有纵向张力没有横向张力。纵向张力满足 T=k\frac{dy}{dx} ,这种绳子自由下垂形成的曲线是抛物线证明如下,假设绳子的线密度是 \rho ,重力加速度是 g 绳子的合力 F=T(x+dx)-T(x)+mg=\frac{dT}{dx}dx-\rho gdx=0 得 \frac{dT}{dx}=\rho g ,即 \frac{dT}{dx}=\frac{dk\frac{dy}{dx}}{dx}=k\frac{d^{2y}}{dx^{2}}=ky''=\rho g 这个曲线的微分方程为 y''=\frac{\rho g}{k} 解得 y=\frac{\rho g}{2k}x^{2}+c_{1}x+c_{2} 编辑于 2021-06-09 12:17物理科普力学悬链线赞同 24932 条评论分享喜欢收藏申请
建筑中的微笑曲线--悬链 - 知乎
建筑中的微笑曲线--悬链 - 知乎首发于结构思考切换模式写文章登录/注册建筑中的微笑曲线--悬链iStructure作者:杨笑天形是力的图解。形与力相结合的形态,广泛存在于自然界和生活中。比如,森林中悬垂的藤蔓、粘着露水的蛛丝,以及人类建造的吊桥和输电线,都是形与力高度结合的悬链线 Catenary 形态。▲ 粘着露水的蜘蛛网 ▲ 铁塔之间悬垂的电线▲ Capilano suspension bridge, Canada 形 与 力 早在1490年,达芬奇绘制《抱银貂的女人》时,曾提出一个问题。女人戴的项链的形状,即在均匀重力作用下,项链自然下垂的形态是什么?▲ 抱银貂的女人,达芬奇,1490年伽利略错误地猜测悬链曲线也是抛物线。直到1690年雅各布·伯努利正式提出悬链线问题,向数学界征求答案。1691年他的弟弟约翰·伯努利和莱布尼兹、惠更斯三人各自都得到了正确答案,给出悬链线的数学表达式--双曲余弦函数。▲ 用微积分推导悬链线的过程值得说明的是,合理的曲线形态与荷载有关。如下图所示,沿跨度投影方向均布的竖向荷载作用下,合理形状是二次抛物线。在沿着构件单元长度均布的荷载下,是悬链线。在沿着曲线法线的均布荷载下,合理形状则是圆弧 (想象一下肥皂泡)。有趣的是,它们时常以看似“相反”的形式出现。比如,美国圣路易斯的杰斐逊纪念拱门,主要竖向荷载是拱的自重,因此它的合理形状是悬链线。而我们常见的悬索桥,主要荷载是沿跨度方向均布的桥面,它的形状反而是抛物线。▲ 杰斐逊纪念拱门,高 192 米:悬链线拱▲ 旧金山金门大桥:抛物线形状的悬索实际上,抛物线和悬链线的形状差别并不大。对于能承受一定弯矩的刚性结构来说,这种差别带来的影响不大。但对于零弯矩的柔性结构,形态尤为重要。初始的形态偏离越多,加载后的形变越大。 悬 链 拱 早在17世纪,发现弹性定律的科学家罗伯特·胡克提出,“将悬挂的柔性曲线翻转形成拱”。【"As hangs a flexible cable so, inverted, stand the touching pieces of an arch."】▲ 胡克和他的发明 (手持悬链线)高迪 与 逆吊法19世纪70年代,安东尼奥·高迪(1852-1926) 率先在建筑设计中尝试使用悬链逆吊法,通过实验手段探索空间形态。▲ 高迪设计的吊挂试验模型铁链在自重下呈悬链线形态高迪在圣家大教堂和巴特由之家等建筑中,都经常使用悬链拱,在灯光和色彩的衬托下,构成一个奇幻的视觉空间。▲ 高迪设计的悬链拱杰斐逊纪念拱门说到纪念碑,人们都会联想到厚重的雕塑形象,而由建筑师埃罗·沙里宁设计的杰斐逊纪念拱门(Gateway Arch)则是一个特例。▲ 悬链线形的杰斐逊纪念拱门 (1967)高 192 米,建筑师Eero Saarinen它是一个矢高和拱脚跨度均为192米的悬链形拱。拱身断面为等边三角形,从下到上逐渐收小。拱身外包不锈钢板,表现出雕塑感。▲ 拱门不锈钢表皮的质感拱门的悬链曲线由数学家给出公式定义。如果把拱门的曲线与悬链线、抛物线做对比,我们会发现悬链线与拱门完全贴合,而抛物线在拱身有比较大的偏差。▲ 悬链拱门的曲线公式(单位为英制)▲ 拱门与悬链线、抛物线对比 浅绿色为悬链线,洋红色为抛物线▲ 施工中的操作平台和三角形结构断面悬链形拱门抵抗着巨大自重和风荷载的同时,也上演了光与影、力度与纤细的相互交织。在拱顶有一个观光瞭望厅,那么如何上去呢?其实三角形断面内是一个空腔,内藏着楼梯通道和胶囊有轨电车,便于人们上下。讲一个小故事。建造杰斐逊纪念拱门时,两个拱脚同时开始建设。两边即将在顶点汇合的那天,有一万人来见证拱心石的安装。当工人把“拱心石”吊装到位时,却发现预留的间隙小了130mm。原来是阳光照在拱表面,引起了不均匀的温度伸长和微微弯曲变形。于是消防员用喷水降温,在整体位置校正无误后,才能嵌入“拱心石”。然后又用千斤顶把拱顶撬开1.8m,以抵消拱脚悬臂施工的弹性变形,最终拱顶完全封闭固定。限于篇幅,其它几个悬链拱项目不便展开。 ▲ 布达佩斯火车站 ▲ 瑞士博览会水泥馆(1939),悬链拱形薄壳结构 结构师:罗伯特•马亚尔(1872-1940)跨度16m,矢高12m,拱顶厚度仅为6cm悬 链 屋 面 悬链屋面与悬链拱相比,有两个特点:1. 限于建筑使用功能的要求,悬链屋面的垂度(矢高)小,显得比较扁平,由此导致悬链两端巨大的水平反力,需要强大的反力构件。▲ 悬链屋面的反力构件方案2. 悬链是形与力高度适应的结果,在均匀荷载下效率非常高,但对集中荷载、不均匀荷载的适应能力差,因此悬链屋面应具有必要的刚度。杜勒斯机场航站楼 华盛顿杜勒斯机场航站楼,由建筑师埃罗·沙里宁设计。航站主楼最大的特点是大跨度悬吊屋面,犹如老鹰般优雅展翅。据说其设计灵感是系在两根树之间的吊床。 ▲ 杜勒斯机场航站楼 Dulles International Airport, 1962在重力荷载下,屋面自然下垂成悬链状,巨大的混凝土柱子向外倾斜,用以平衡和抵抗悬索端部的水平力。▲ 建筑剖面简图悬链的水平拉力 与斜柱轴力的水平分量平衡航站楼悬垂屋盖跨度约43米,提供了十分开阔的空间,整个大厅内部没有任何立柱的阻碍。▲ 施工中: 斜柱与柱顶水平反力梁 里斯本世博会葡萄牙馆1998里斯本世博会葡萄牙馆,是建筑师西扎与结构师巴尔蒙德合作设计的。最有吸引力的部分无疑是一片长67.5米,宽50多米的半开敞公共大厅。▲ Portugal Pavilion,EXpo1998,LiSboa▲ 里斯本世博会葡萄牙馆剖面示意图20cm厚的白色混凝土包裹着高强钢索,悬链屋面跨越了近70m,却轻盈得像是一条毛毯。结构的精妙之处在于,用极轻巧的悬索结构强化了结构的感知。预拉力是受压混凝土与受拉钢索整合在一起的根本。对钢索施加预应力使混凝土受压,既保证混凝土不开裂;又依靠混凝土薄板提供必要的刚度,以自重抵抗风吸力,并。▲ 施工过程对预应力控制简图建筑两侧巨柱以夸张的尺寸暗示着拉力的存在,厚重的巨柱与轻薄屋面形成鲜明的对比。精妙之处还在于,屋面混凝土板在两端支座处戛然而止,以狭缝断开,暴露出钢索,清晰地表达出结构的逻辑,有着千钧系一发的紧张感。▲ 混凝土板与支座间的暴露的钢索阳光从狭缝照进来,带来有趣的光影变化。▲ 光影的变化长野奥林匹克纪念体育馆M波浪(M-Wave),是1998年长野冬奥会速滑比赛场馆。屋顶形状意象取自信州的山脉,像波浪一样连绵不断。从建筑草图中我们可以看到,方案之初建筑师即受到杜勒斯机场航站楼悬链屋面的启发。不同的是它采用了当地产的落叶松的层压板木材,富于独创性。▲ 建筑方案草图M形屋盖由15个单元组成,每个单元宽约18米,纵向长216米,以其仅仅30cm的厚度,创造出跨度达到80m的无柱空间,并且抵挡着当地严酷的风雪荷载。▲ 建筑模型,藏于东京建筑仓库▲ 建筑结构构造解析图限于篇幅,其它悬链屋面项目不便展开。 ▲ Municipal swimming pool悬链线,是形与力关系的最好诠释,是广泛存在于自然界和生活中的优雅,是建筑中一抹微笑曲线。最后,如果您读到这里对悬链线感兴趣,不妨尝试着构造一个杰斐逊纪念悬链拱门的模型。Grasshopper提供了悬链线电池,以下是杰斐逊纪念拱门的数学表达和参数,更详线的参数取值请查阅维基百科。f c = 625.0925 ft (191 m) 为拱的顶点高度;L = 299.2239 ft (91 m)为两个拱脚跨度的一半;Qb = 1,262.6651 sq ft (117 m2) 为拱脚等边三角形断面的面积; Qt = 125.1406 sq ft (12 m2) 为拱顶等边三角形断面的面积;断面三角形从下向上随着高度线性变化。参考资料:1. 结构.空间.界面的整合设计及表现,戴航,张冰著2. 日本结构技术典型实例100选,日本建筑构造技术者协会编,滕征本等译3. 维基百科相关延伸阅读(链接)拱的力量结构形态优化的工程应用从一个屋面说起——建筑方案怎么配交流合作我们很高兴与结构同行探讨,也很愿意为建筑师提供结构方案、咨询建议、找形分析等。如有需求,请联系小i 微信号,或者在公众号首页留言。欢迎交流讨论!欢迎投稿!iStructure的初衷是分享建筑结构领域的见闻、优秀的设计和自己一些的思考,向更多人呈现结构设计有趣的一面。本文首发于iStructure公众号,此为小i运营的知乎账号,希望能让更多人了解不一样的结构设计。免责提示文章中部分图片为网络转载,仅供分享不做任何商业用途,版权归原作者所有。如有问题,请后台联系我们,我们会立即删除,并表示歉意,谢谢!发布于 2019-04-24 20:25建筑结构结构工程土木工程赞同 835 条评论分享喜欢收藏申请转载文章被以下专栏收录结构思考思
悬链线方程——数学史上的难题之一,伽利略没能求出,难在哪里? - 知乎
悬链线方程——数学史上的难题之一,伽利略没能求出,难在哪里? - 知乎首发于发现数学之美切换模式写文章登录/注册悬链线方程——数学史上的难题之一,伽利略没能求出,难在哪里?康托的天堂一个完美均匀且灵活的平衡链被它的两端悬挂,并只受重力的影响,这个链子形成的曲线形状被称为悬链线。1690年,荷兰物理学家、数学家、天文学家、发明家克里斯蒂安·惠更斯(Christiaan Huygens)在给德国著名博学家戈特弗里德·莱布尼茨(Gottfried Leibniz)的一封信中创造了这个名字。悬链线与抛物线相似。意大利伟大的天文学家、物理学家和工程师伽利略是第一个研究悬链线的人,并错误地将其形状认定为抛物线。1691年,莱布尼茨、惠根斯和瑞士数学家约翰·伯努利分别得出了正确的形状。他们都是为了响应瑞士数学家雅各布·伯努利(约翰的哥哥)提出的一项挑战,即得到“悬链线”方程。图1:从左到右分别是雅各布·伯努利,戈特弗里德·莱布尼茨,克里斯蒂安·惠更斯和约翰·伯努利莱布尼茨和惠更斯发给雅各布·伯努利的图如下所示。他们发表在《博学学报》上,这是欧洲德语国家的第一份科学期刊。图1:莱布尼茨和惠更斯提交给雅各布·伯努利的答案。约翰·伯努利很高兴,他成功地解决了他哥哥雅各布没能解决的问题。27年后,他在一封信中写道:我哥哥的努力没有成功。就我而言,我更幸运,因为我发现了这个问题的答案。对于我当时的年龄和经验来说,这是一个巨大的成就。……我满心欢喜地跑到哥哥那里,他一直在苦苦地与这个难题作斗争,却没有任何进展,总是像伽利略一样认为这个链线是一个抛物线。我对他说,不要再折磨自己了,不要再试图用抛物线来寻求悬链的方程了,因为那是完全错误的。——约翰·伯努利求悬链线方程为求悬链线方程,作以下假设:悬链悬挂在两点之间,靠自身重量悬挂。悬链是灵活的,有一个统一的线性重量密度(等于w_0)。为了简化代数上的繁琐,我们让y轴通过曲线的最小值。从最小值到点(x, y)的线段长度用s表示。作用在线段上的三个力分别为张力T_0和T以及它自身的重力w_0s(见下图)。前两个力与悬链相切。图2:此图包含计算中使用的参数和变量。要使每一段在水平和垂直上达到平衡,必须满足以下两个条件:式1:长度为s的悬链的平衡条件。我们需要解的微分方程是:式2:我们要解的微分方程。现在我们要把这个方程写成y和x的形式。我们首先对它求导得到:式3:式2的导数。ds/dx的导数可以用dy/dx表示如下:式4图3:式4中使用的无穷小三角形则式3为:式5:悬链线微分方程。为了快速求解式5,我们引入以下变量:式6:解方程5时u的定义利用式6,式5变成:式7:用变量u表示式5。这个方程可以通过变量分离和一个简单的三角代换(u = tan θ)来积分:式8:积分后的式7。因为y轴经过曲线的最小值:式9:变量u在曲线的最小值处为零。将式9代入式8得到:式10:用式9求出式8中的c。将c=0代入式8,求解u,得到:式11:方程5的解,得出了悬链线方程。图4:三个悬链的例子。想了解更多精彩内容,快来关注老胡说科学发布于 2021-06-06 21:46物理学力学微分方程赞同 534 条评论分享喜欢收藏申请转载文章被以下专栏收录发现数-1.6 %����
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